レンズ解析系の技術まとめ

まだ仮開設

非球面の式

いろいろある．その点は設計の自由度なんじゃないだろうか．たぶん一般的な非球面式は

$\begin{aligned} x = \frac{cy^2}{1 + \sqrt{1 - (1 + k) c^2 y^2}} + a_4y^4 + a_6y^6 + \cdots \end{aligned}$

で，第二項以降の次数は2次からの人もいれば奇数次を入れる人もいたりする*1．

中川『レンズ設計工学』では

$\begin{aligned} x = \frac{cy^2}{1 + \sqrt{1 - c^2 y^2k}} + a_4y^4 + a_6y^6 + \cdots \end{aligned}$

のようにコーニック係数 $k$ が違うという奇天烈な状況である．いずれにせよレンズ頂点を0としたときのサグ量を求める式で非球面を定義するのが普通と思われる．

非球面式の1階微分

非球面式を

$\begin{aligned} x = \frac{cy^2}{1 + \sqrt{1 - (1 + k) c^2 y^2}} + a_4y^4 + a_6y^6 + \cdots \end{aligned}$

とした場合，1階微分は

$\begin{aligned} \frac{dx}{dy} = cy\left\{1 + \frac{c^2y^2 (k+1 )}{\sqrt{1 - c^2 y^2(1 + k) } + (1 - c^2 y^2(1 + k) )}\right\} + 4a_4y^3 + 6a_6y^5 + \cdots \end{aligned}$

でまとめられる．

法線ベクトル

レンズ曲面は回転体だとすれば

$\begin{aligned} x = u\cos v \qquad y = u\sin v \qquad z = f(u) \end{aligned}$

で表現でき，法線ベクトルは

$\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{1 + \{f'(u)\}^2}} \left( \begin{array}{c} -f'(u)\cos v\\ -f'(u)\sin v\\ 1 \end{array} \right) \end{aligned}$

となる．ただし単位ベクトル化しておいた．

非球面式の2階微分

今のところ1度も使っていないが，せっかく計算してあるので供養する．非球面式を

$\begin{aligned} x = \frac{cy^2}{1 + \sqrt{1 - (1 + k) c^2 y^2}} + a_4y^4 + a_6y^6 + \cdots \end{aligned}$

とした場合，2階微分は

$\begin{aligned} \frac{d^2x}{dy^2} = \left(c + \frac{c^3y^2(k+1)}{1-c^2y^2(k+1)}\right) \left\{1 + \frac{c^2y^2 (k+1 )}{\sqrt{1 - c^2 y^2(1 + k) } + (1 - c^2 y^2(1 + k) )}\right\} + \sum_{i=1} 2(i+1)(2i+1)a_{2(i+1)}y^{2i} \end{aligned}$